Question

（2014•南昌三模）若關(guān)于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）

A.（0，1） B.（﹣1，0） C.（﹣∞，﹣1） D.（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）

 

Answer 1

D

【解析】

試題分析：依題意，關(guān)于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集為空集?a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|，可求其最大值，從而可解關(guān)于a的不等式即可．

【解析】
∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集為空集，

∴a2+a+1＞|x﹣1|﹣|x﹣2|恒成立，

構(gòu)造函數(shù)f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，

則a2+a+1＞f（x）max，

∵f（x）max=1，

∴a2+a+1＞1，

∴a2+a＞0，解得a＞0或a＜﹣1．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）

故選D．