Question

右圖是某簡諧運動的一段圖象，它的函數模型是f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0），其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

．
（Ⅰ）根據圖象求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數y=f（x）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在[ 

π

2

 ， π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數模型f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0）知A=2，由

2π

ω

=T=4π可求得ω=

1

2

，結合最高點坐標與φ的范圍可求得φ；
（Ⅱ）解法一：將y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到y=g（x）=2sin（x-

π

6

），由

π

2

≤x≤π，可得到

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，從而可求函數y=g（x）在[ 

π

2

 ， π]上的最大值和最小值；
解法二：同解法一，得到y=g（x）=2sin（x-

π

6

），令t=x-

π

6

，可求得函數y=2sint的單調遞增區間是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，還原x后得到-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，分析y=g（x）在區間[

π

2

，

2π

3

]上單調遞增，在區間[

2π

3

，π]上單調遞減，從而可求最值．

解答：解：（Ⅰ）由函數模型f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0）知A=2；
由

2π

ω

=T=

13π

3

-

π

3

=4π，得ω=

1

2

，
由最高點（

4π

3

，2）得，

1

2

×

4π

3

+φ=2kπ+

π

2

，
∴φ=-

π

6

+2kπ，又-

π

2

＜?＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴函數y=f（x）的解析式為y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）（x≥0）；
（Ⅱ）解法一：將y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到y=g（x）=2sin（x-

π

6

），
∵

π

2

≤x≤π，
∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，
∴當x-

π

6

=

π

2

，即x=

2π

3

時，g（x）有最大值2，
當x-

π

6

=

5π

6

，即x=π時，g（x）有最小值1；
解法二：將y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）圖象上各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍，縱坐標不變，得到y=g（x）=2sin（x-

π

6

），
令t=x-

π

6

，
∵函數y=2sint的單調遞增區間是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得，由-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，
設A=[

π

2

，π]，B={x|-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，}，則A∩B=[

π

2

，

2π

3

]，
∴函數y=g（x）在區間[

π

2

，

2π

3

]上單調遞增，
同理可得，函數y=g（x）在區間[

2π

3

，π]上單調遞減．
又∵g（

π

2

）=

3

，g（

2π

3

）=2，g（π）=1，
∴函數y=g（x）在[

π

2

，π]上的最大值為2，最小值為1．

點評：本題考查三角函數的圖象與性質，圖象的平移伸縮變換，考查推理論證能力，運算求解能力，考查方程與函數、數形結合的思想方法，屬于難題．