Question

設曲線在點處的切線斜率為，且，對一切實數,不等式恒成立．
（1） 求的值；
（2） 求函數的表達式；
（3） 求證:．

Answer 1

（1）k（1）=1（2）k（x）=x²+x+=（x+1）²；
（3）第二問的基礎上，利用均值不等式放縮來得到證明。

解析試題分析：解：（1）根據題意，對一切實數x，不等式恒成立，則當x=1時，有1≤k（1）≤ =1，即1≤k（1）≤1，則k（1）=1
（2）對曲線方程求導可得k（x）=ax²+bx+c， k（-1）=0，則a-b+c=0------①由（1）得，k（1）=1，則a+b+c=1------②由①②得a+c= ，b=；則k（x）=ax²+x+c，又由x≤k(x)≤ (x²+1)恒成立可得， ax²-x+c≥0且（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立，由ax²+x+c≥0恒成立可得a＞0，≤4ac，由（2a-1）x²+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）得0＜a＜，且≤ac≤
ac=，且a+c=，則a=c=，則k（x）=x²+x+=（x+1）²；
證明：（3）由（2）可得k（x）=（x+1）²，則＞=2（），即）；則即不等式可證．
考點：函數的恒成立、曲線的切線方程
點評：本題綜合考查函數的恒成立問題、曲線的切線方程以及放縮法證明不等式，難度較大；解（Ⅱ）題時要注意二次函數大于等于0恒成立的條件．