Question

.已知a，b∈R，若關于x的方程x²-ax+b=0的實根x₁和x₂滿足-1≤x₁≤1，1≤x₂≤2，則在平面直角坐標系aOb中，點（a，b）所表示的區域內的點P到曲線（a+3）²+（b-2）²=1上的點Q的距離|PQ|的最小值為（　　）

• A、3

  2

  -1
• B、2

  2

  -1
• C、3

  2

  +1
• D、2

  2

  +1

Answer 1

分析：先由根的分布得出關于a，b的方程組，作出方程組對應的區域，即點（a，b）所表示的區域，點P到曲線（a+3）²+（b-2）²=1上的點Q的距離|PQ|的最小值即區域內的點到定點（-3，2）的距離的最小值．由圖象判斷找出兩點中距離最近的點，用兩點距離公式求出即可．

解答：解：由題意可得

a+b+1＞0 1-a+b＜0 4-2a+b＞0

其對應的區域如圖所示陰影部分，曲線（a+3）²+（b-2）²=1的圓心為（-3，2），此點在直線a+b+1=0上，由于兩直線a+b+1=0與1-a+b=0垂直，故圓心與區域邊界處的點（0，-1）距離是區域中的點與圓心的距離的最小值，其長度為3

2

，故點（a，b）所表示的區域內的點P到曲線（a+3）²+（b-2）²=1上的點Q的距離|PQ|的最小值為3

2

-1，
故選A．

點評：本題考查簡單線性規劃，是線性規劃求最值的一個變形題---兩個動點之間的距離，動中有靜，根據圓的幾何特征，將兩動點之間的距離轉化為定點之間的距離．這是數學中常用的轉化方法．