Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，且f（2+x）=f（2-x），當x∈[-2，0）時，f（x）=(

2

2

)x-1，若在區間（-2，6）內的關于x的方程f（x）-logg_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．（

  1

  4

  ，1）
• B．（1，4）
• C．（1，8）
• D．（8，+∞）

Answer 1

分析：在同一直角坐標系中作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區間（-2，6）內的圖象，結合題意可得到關于a的關系式，從而得到答案．

解答：解：∵當x∈[-2，0）時，f（x）=(

2

2

)x-1，
∴當x∈（0，2]時，-x∈[-2，0），
∴f（-x）=(

2

2

)-x-1=(

2

)x-1，又f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（x）=(

2

)x-1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2-x），
∴f（x）的圖象關于直線x=2對稱，且f（4+x）=f（-x）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的函數，
∵在區間（-2，6）內的關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4個不同的實數根，
令h（x）=log_a（x+2），即f（x）=h（x）=log_a（x+2）在區間（-2，6）內有有4個交點，
在同一直角坐標系中作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區間（-2，6）內的圖象，
∴0＜log_a（6+2）＜1，
∴a＞8．
故選D．

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，求得f（x）的解析式，作出f（x）與h（x）=log_a（x+2）在區間（-2，6）內的圖象是關鍵，考查作圖能力與數形結合的思想，屬于難題．