Question

已知雙曲線C的方程為x²-=1，點A（m，2m）和點B（n，-2n）（其中m和n均為正數）是雙曲線C的兩條漸近線上的兩個動點，雙曲線C上的點P滿足=λ•（其中λ∈[，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O為坐標原點）面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由A（m，2m），B（-n，2n），根據 =λ•得P點的坐標代入雙曲線方程化簡整理m，n與λ的關系式；
（2）設∠AOB=2θ，進而根據直線的斜率求得tanθ，進而求得sin2θ，進而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達式，根據λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值，△AOB面積的取值范圍可得．
解答：解：（1）由已知，點A（m，2m）和點B（n，-2n），設P（x，y）
由=λ•，得，故P點的坐標為（，），…（3分）
將P點的坐標代入x²-=1，化簡得，mn=．…（3分）
（2）設∠AOB=2θ，則tanθ=2，所以sin2θ=．…（1分）
又|OA|=，|OB|=，
所以S_△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn==，…（3分）
記S（λ）=，λ∈[，3]）．
則S（λ）在λ∈[，3]）上是減函數，在λ∈[1，3]上是增函數．…（2分）
所以，當λ=1時，S（λ）取最小值2，當λ=3時，S（λ）取最大值．
所以△AOB面積的取值范圍是[2，]．…（2分）
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題的能力．