Question

設實數a＞1，若僅有一個常數c使得對于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a²]滿足方程log_ax+log_ay=c，這時，實數a的取值的集合為

{3}

．

Answer 1

分析：由題意可得x＞0，y＞0，y=

ac

x

，作出其圖象如圖所示，進而得出

a2= ac a a= ac 3a

及a＞1，c只有一個值．解出即可．

解答：解：∵log_ax+log_ay=c，∴x＞0，y＞0，y=

ac

x

．（a＞1），作出其函數圖象：
由圖象可以看出：函數y=

ac

x

在區間[a，3a]上單調遞減，
∴必有

a2= ac a a= ac 3a

及a＞1，c只有一個值．解得c=3，a=3．適合題意．
∴實數a的取值的集合為{3}．

點評：由題意確定函數的單調性和畫出其圖象是解題的關鍵．