Question

類比等差數列的定義給出“等和數列”的定義：

數列{a_n}，若從第二項起，每一項與前一項的和等于同一個常數，則稱該數列為等和數列

；已知數列{a_n}是等和數列，且a₁=2，公和為5，那么a₁₈的值為

3

．這個數列的前n項和S_n的計算公式為

Sn=

5 2 n 5 2 n- 1 2

，n為偶數 ，n為奇數

或Sn=

5

2

n+

(-1)n-1

4

．

Answer 1

分析：這是一個類比推理的問題，在類比推理中，等差數列到等和數列的類比推理方法一般為：減法運算類比推理為加法運算，由：“如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列”類比推理得：“數列{a_n}，若從第二項起，每一項與前一項的和等于同一個常數，則稱該數列為等和數列”．再由等和數列的定義，我們可得等和數列的所有奇數項相等，所有偶數項也相等，進而根據a₁=2，公和為5，求出數列的通項公式，進而得出數列的前n項和S_n的計算公式．

解答：解：由等差數列的性質類比推理等和數列的性質時
類比推理方法一般為：
減法運算類比推理為加法運算，
由：“如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列．”
類比推理得：
“數列{a_n}，若從第二項起，每一項與前一項的和等于同一個常數，則稱該數列為等和數列”
∵a₁=2，公和為5，
∴a₂=3，a₃=2，a₄=3，a₅=2，…a_2n=3，a_2n+1=2，（n∈N）
∴a₁₈=3；
∴a_n=

2，n為奇數 3，n為偶數

，
∴這個數列的前n項和S_n的計算公式為 Sn=

5 2 n 5 2 n- 1 2

，n為偶數 ，n為奇數

或Sn=

5

2

n+

(-1)n-1

4

．
故答案為：數列{a_n}，若從第二項起，每一項與前一項的和等于同一個常數，則稱該數列為等和數列；3；Sn=

5 2 n 5 2 n- 1 2

，n為偶數 ，n為奇數

或Sn=

5

2

n+

(-1)n-1

4

．

點評：本題考查的知識點是數列的概念及簡單表示法，其中類比推理出等和數列的概念并分析出等和數列的性質是解答本題的關鍵．