Question

設函數f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數，當x∈[-1，0）時，f（x）=x³-ax
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數a，使得當x∈（0，1]時，f（x）有最大值1？

Answer 1

分析：（1）利用函數的奇偶性，求f（x）的解析式；
（2）求函數的導數，利用導數研究使得當x∈（0，1]時，f（x）有最大值1成立的條件，即可求解a．

解答：解：（1）若x∈（0，1]，則-x∈[-1，0），
當x∈[-1，0）時，f（x）=x³-ax
∴f（-x）=-x³+ax，
∵f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數，
∴f（-x）=-x³+ax=f（x），
即f（x）=-x³+ax，x∈（0，1]，
∴f(x)=

x3-ax，x∈[-1，0) -x3+ax，x∈(0，1]

；    
（2）當x∈（0，1]時，f（x）=-x³+ax，
∴f'（x）=-3x²+a，
∵0＜x²≤1，∴-3≤-3x²＜0，
當a＞3時，f（x）在（0，1]上遞增，
∴f（x）的最大值為f（1）=a-1=1，
即a=2，不合題意．
當0≤a≤3時，f'（x）=-3x²+a，令f'（x）=0，解得x=

a 3

，
列表如下：

x	（0， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，1）
f'（x）	+	0	-
f（x）	遞增	最大值	遞減

∴f（x）在x=

a 3

處取得最大值-（

a 3

） 3+a•

a 3

=1，解得a=

3	27 4

＜3．
當a＜0，f'（x）=-3x²+a＜0，f（x）在（0，1]上遞減，故f（x）無最大值，不合題意．
綜上所述，存在實數a=

3	27 4

，使得當x∈（0，1]時，f（x）有最大值1．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及利用導數研究函數的最值，要求熟練掌握導數在研究函數中的應用．