Question

設點P（x，y）（x≥0）為平面直角坐標系xOy中的一個動點（其中O為坐標原點），點P到定點M（，0）的距離比點P到x軸的距離大．
（1）求點P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；
（2）若直線l與點P的軌跡相交于A、B兩點，且=0，點O到直線l的距離為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）用直接法或定義法求得點P軌跡方程為y²=2x，表示以原點為頂點，對稱軸為x軸，開口向右的一條拋物線．
（2）當直線l的斜率不存在時，由題設可知直線l的方程是x=，聯立x=與y²=2x可求得A（），B（），不符合=0．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+b（k≠0，b≠0），聯立y=kx+b與y²=2x，化簡得ky²-2y+2b=0，由此能夠求出直線l的方程．
解答：解：（1）由定義法，知點P軌跡方程為y²=2x，
表示以原點為頂點，對稱軸為x軸，開口向右的一條拋物線．（6分）
（2）當直線l的斜率不存在時，
由題設可知直線l的方程是x=，
聯立x=與y²=2x可求得A（），B（），
不符合=0  （7分）
當直線l的斜率存在時，
設直線l的方程為y=kx+b（k≠0，b≠0），
聯立y=kx+b與y²=2x，
化簡得ky²-2y+2b=0  （9分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁y₂==0?x₁x₂+y₁y₂=0?+y₁y₂=0?y₁y₂+4=0?+4=0?b+2k=0  ①（11分）
又O到直線l距離為得②（12分）
聯立①②解得k=1，b=-2或k=-1，b=2，所以直線l的方程為y=x-2或y=-x+2（13分）
點評：本題考查拋物線的方程的求法和直線方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．