Question

已知圓C的圓心坐標為C（2，-1），且被直線x-y-1=0所截得弦長是2

2

，
（1）求圓的方程；
（2）已知A為直線l：x-y+1=0上一動點，過點A的直線與圓相切于點B，求切線段|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用點到直線的距離公式求出圓心C到已知x-y-1=0的距離d，由弦長的一半及弦心距，利用垂徑定理及勾股定理求出圓的半徑，由圓心與半徑寫出圓的標準方程即可；
（2）利用點到直線的距離公式求出圓心C到直線x-y+1=0的距離，此距離為圓心到直線的最短距離，此時垂足為A的位置，由圓的半徑，利用勾股定理求出此時切相等的長即可．

解答：解：（1）∵圓心C（2，-1）到直線x-y-1=0的距離d=

2+1-1

2

=

2

，截取的弦長為2

2

，
∴圓的半徑r=

( 2 )2+( 2 2 2 )2

=2，
則圓C的方程為（x-2）²+（y+1）²=4；
（2）∵圓心C（2，-1）到直線x-y+1=0的距離為

2+1+1

2

=2

2

，半徑為2，
∴切線段|AB|的最小值為

(2 2 )2-22

=2．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：勾股定理，點到直線的距離公式，以及垂線段最短，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑以及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．