Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=AD，點M在線段EF上。

(1)求證：BC⊥平面ACFE；

(2)若，求證：AM∥平面BDF.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）由已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，易求出AC⊥BC，結合已知中平面ACFE⊥平面ABCD，及平面與平面垂直的性質定理，即可得到BC⊥平面ACFE．

（2）設ACBD=N，則CN：NA=1：2，結合條件可得MF∥AN，且MF=AN，從而得到AM∥NF，由線面平行的判定定理可得結論.

(1)在梯形ABCD中，∵AB∥CD，

AD=CD=CB=a，∠ABC=60°

∴四邊形ABCD是等腰梯形

且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°

∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°

∴AC⊥BC

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，

∴BC⊥平面ACFE.

(2)在梯形ABCD中，設ACBD=N，連接FN，則CN：NA=1：2

又∵EM：MF=1：2，而EF=AC

∴MF∥AN，且MF=AN

∴四邊形ANFM是平行四邊形，

∴AM∥NF

又∵NF平面BDF，AM平面BDF

∴AM∥平面BDF.