Question

已知c＞0，設命題p：指數函數y=-（2c-1）^x在實數集R上為增函數，命題q：不等式x+（x-2c）²＞1在R上恒成立．若命題p或q是真命題，p且q是假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

當p正確時，∵函數y=-（2c-1）^x在R上為增函數∴0＜2c-1＜1，
∴當p為正確時，

1

2

＜c＜1
當q正確時，
∵不等式x+（x-2c）²＞1的解集為R，
∴當x∈R時，x²-（4c-1）x+（4c²-1）＞0恒成立．
∴△=（4c-1）²-4•（4c²-1）＜0，∴-8c+5＜0
∴當q為正確時，c＞

5

8

由題設，若p和q有且只有一個正確，則
（1）p正確q不正確，

1 2 ＜c＜1 0＜c≤ 5 8

∴

1

2

＜c≤

5

8

------（9分）
（2）q正確p不正確，

0＜c≤ 1 2 或c≥1 c＞ 5 8

∴c≥1
∴綜上所述，若p和q有且僅有一個正確，c的取值范圍是(

1

2

--（14分）