Question

已知拋物線y＝x²和三個點

M(x₀，y₀)、P(0，y₀)、N(－x₀，y₀)(y₀≠，y₀＞0)，過點M的一條直線交拋物線于A、B兩點，AP、BP的延長線分別交曲線C于E、F．

(1)證明E、F、N三點共線；

(2)如果A、B、M、N四點共線，問：是否存在y₀，使以線段AB為直徑的圓與拋物線有異于A、B的交點？如果存在，求出y₀的取值范圍，并求出該交點到直線AB的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：設， 　　則直線的方程： 　　即： 　　因在上，所以① 　　又直線方程： 　　由得： 　　所以 　　同理， 　　所以直線的方程： 　　令得 　　將①代入上式得，即點在直線上 　　所以三點共線 　　(2)解：由已知共線，所以 　　以為直徑的圓的方程： 　　由得 　　所以(舍去)， 　　要使圓與拋物線有異于的交點，則 　　所以存在，使以為直徑的圓與拋物線有異于的交點 　　則，所以交點到的距離為