Question

【題目】如圖所示，已知多面體中，四邊形為菱形，為正四面體，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明平面平面來證明平面；

（2）如圖，以菱形的兩條對角線所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標系，利用向量法計算二面角的余弦值.

（1）證明：因為四邊形為菱形，

所以，

又平面，平面，所以平面，

同理可得平面，

因為平面，，

所以平面平面

因為平面，所以平面.

（2）以菱形的兩條對角線所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

設，則，

因為為正四面體，所以點E坐標為，

，

因為平面平面，

所以平面與平面的法向量相同.

設平面的一個法向量為，則

，即

可取.

可取為平面的法向量.

所以，

所以二面角的余弦值為.