Question

若向量

m

=(

3

sinωx，0)

n

=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函數f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t的圖象中，對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

，且當x∈[0，

π

3

]時，f(x)的最大值為1．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（I）利用函數f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t求出向量的數量積，利用二倍角公式以及兩角差的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，通過對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

，求出函數的周期，得到ω，利用x∈[0，

π

3

]時，f(x)的最大值為1．
求出t，得到函數的解析式．
（II）利用正弦函數的單調增區間，求函數f（x）的單調遞增區間，即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（I）由題意得f(x)=

m

•(

m

+

n

)+t=

m

2+

m

•

n

=3sin2ωx+

3

sinωx•cosωx+t
=

3

2

-

3

2

cos2ωx+

3

2

sin2ωx+t
=

3

sin(2ωx-

π

3

)+

3

2

+t…(4分)
∵對稱中心到對稱軸的最小距離為

π

4

∴f（x）的最小正周期為T=π∴

2π

2ω

=π，∴ω=1…（6分）
∴f(x)=

3

sin(2x-

π

3

)+

3

2

+t，
當x∈[0，

π

3

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

3

]
∴2x-

π

3

=

π

3

即x=

π

3

時，f(x)取得最大值3+t

∵f(x)max=1

，∴3+t=1，∴t=-2
（II）2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（10分）2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

5

6

π，kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5

12

π
∴函數f(x)的單調遞增區為[kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π](k∈Z)…(12分)

點評：本題是中檔題，考查向量的數量積，三角函數的化簡求值，解析式的求法，三角函數的單調性的應用，考查計算能力．