Question

已知函數f（x）=2x³-3ax²，g（x）=3x²-6x，又函數f（x）在（0，1）單調遞減，而在（1，+∞）單調遞增．
（1）求a的值；
（2）求M的最小值，使對?x₁、x₂∈[-2，2]，有|f（x₁）-g（x₂）|≤M成立；
（3）是否存在正實數m，使得h（x）=f（x）+mg（x）在（-2，2）上既有最大值又有最小值？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求導數，由函數f（x）在（0，1）單調遞減，而在（1，+∞）單調遞增，得x=1是函數f（x）的一個極值點，即f′（1）=0，代入求解．
（2）由（1）知f（x）=2x³-3x²，g（x）=3x²-6x，利用導數分別求出這兩個函數的值域，再由不等式同向不等式可相加，求出f（x₁）-g（x₂）的范圍，進而求出|f（x₁）-g（x₂）|的范圍，最大值可求，即為M．
（3）寫出h（x）的解析式，求導，得出極值點，為滿足h（x）=f（x）+mg（x）在（-2，2）上既有最大值又有最小值，極值點應在（-2，2）內，極大值應為最大值，極小值應為最小值，得出不等式，求解．

解答：（本小題滿分16分）
解：（1）f′（x）=6x²-6ax，
由題意知x=1是函數f（x）的一個極值點，即f′（1）=0，∴6-6a=0，即a=1，
此時f（x）=2x³-3x²，f′（x）=6x²-6x=6x（x-1）滿足條件，∴a=1．…（4分）
（2）由f′（x）=6x（x-1）=0得，x=0或x=1，
得f（0）=0，f（1）=-1，f（2）=4，f（-2）=-28，
∴當x₁∈[-2，2]時，-28≤f（x₁）≤4；…（6分）
又g（x）=3x²-6x=3（x-1）²-3，
∴當x₂∈[-2，2]時，-3≤g（x₂）≤24；…（8分）
因此，-52≤f（x₁）-g（x₂）≤7，∴|f（x₁）-g（x₂）|≤52；
∴滿足條件的M的最小值為52．…（10分）
（3）h（x）=f（x）+mg（x）=2x³+3（m-1）x²-6mx
則h′（x）=6x²+6（m-1）x-6m=6（x-1）（x+m）=0得x₁=1，x₂=-m；…（12分）
要使得存在正實數m，使得h（x）=f（x）+mg（x）在（-2，2）上既有最大值又有最小值，則必須-m＞-2，即0＜m＜2，且滿足

h(1)≤h(-2) h(-m)≥h(2)

，…（14分）
得

m≥1 m3+3m2-4≥0

，即

m≥1 (m-1)(m+2)2≥0

∴m≥1
∴1≤m＜2，∴m的取值范圍為1≤m＜2．…（16分）

點評：由極值點可得導數為0，由導數為0得到的不一定是極值點，若算也的參數有多個取值，一定要驗證；求函數值，若是三次函數，一般要用導數求其最值，本題求參數的范圍，用的數形結合，利用導數知圖象的大致走向，得出什么樣的圖形才能滿足條件，使問題簡化，注意開區間．