Question

為了解甲、乙兩廠的產品質量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品中分別抽出取14件和5件，測量產品中的微量元素x，y的含量（單位：毫克）．下表是乙廠的5件產品的測量數據：

編號	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	70	81

（1）已知甲廠生產的產品共有98件，求乙廠生產的產品總數．
（2）當產品中的微量元素x，y滿足x≥175，y≥75，該產品為優等品．用上述樣本數據估計乙廠生產的優等品的數量．
（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中的優等品數ξ的分布列及其均值（即數學期望）．

Answer 1

分析：（1）有分層抽樣可知各層抽取的比例相等，先計算出甲廠抽取的比例，按此比例計算乙廠生產的產品總數即可．
（2）先計算抽取的5件樣品中優等品的概率，再由此概率估計乙廠生產的優等品的數量即可．
（3）ξ的所有可能取值為0，1，2．由古典概型分別求概率，再求期望即可，此分布列為超幾何分布．

解答：解：（1）甲廠抽取的比例

14

98

=

1

7

，因為乙廠抽出5件，故乙廠生產的產品總數35件．
（2）x≥175，y≥75的有兩件，比例為

2

5

，因為乙廠生產的產品總數35件，
故乙廠生產的優等品的數量為35×

2

5

=14件．
（3）乙廠抽出的上述5件產品中有2件為優等品，任取兩件的取法有C₅²=10種
ξ的所有可能取值為0，1，2．
P（ξ=0）=

C 2 3

10

=

3

10

，
P（ξ=1）=

2×3

10

=

6

10

，
P（ξ=2）=

1

10

，
∴ξ的分布列為：

故Eξ=

6

10

+

2

10

=

4

5

．

點評：本題考查分層抽樣、樣本估計總體、離散型隨機變量的分布列和期望等知識，考查利用所學知識解決問題的能力．