Question

設函數，，

其中|t|≤1，將f(x)的最小值記為g(t)．

(1)求g(t)的表達式；

(2)對于區間[－1，1]中的某個t，是否存在實數a，使得不等式g(t)≤成立？如果存在，求出這樣的a及其對應的t；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（１）g(t)＝4t³－3t＋3．

（２）對任意的實數a，＝∈[－2，2]

當且僅當a＝1時，＝2，對應的t＝－1或，

故當t＝－1或時，這樣的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而當t∈(－1，1]且t≠時，這樣的a不存在.

解析:

(1)

                

               ．

由(sinx－t)²≥0，|t|≤1，故當sinx＝t時，f(x)有最小值g(t)，即

g(t)＝4t³－3t＋3．

 (2)我們有．

列表如下：

t	(－1，－)	－	(－，)		(，1)
g'(t)	＋	0	－	0	＋
G(t)	↗	極大值g(－)	↘	極小值g()	↗

由此可見，g(t)在區間(－1，－)和(，1)單調增加，在區間(－，)單調減小，極小值為g()＝2，

又g(－1)＝－4－(－3)＋3＝2

故g(t)在[－1，1]上的最小值為2

注意到：對任意的實數a，＝∈[－2，2]

當且僅當a＝1時，＝2，對應的t＝－1或，

故當t＝－1或時，這樣的a存在，且a＝1，使得g(t)≥成立.

而當t∈(－1，1]且t≠時，這樣的a不存在.