Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，E，F分別是棱CD、C₁D₁的中點，長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動，另一個端點N在底面A₁B₁C₁D₁上運動，則線段MN的中點P的軌跡（曲面）與二面角D-C₁D₁-B₁所圍成的幾何體的體積為

 

．

Answer 1

分析：根據條件得到點P的軌跡是以點F為球心、1為半徑的球體，從而求出結論．

解答：解：依題意知|FP|=

1

2

|MN|=1，
因此點P的軌跡是以點F為球心、1為半徑的球的

1

4

．
∴所求幾何體的體積是

1

4

×

4

3

π×1³=

π

3

．
故答案為：

π

3

．

點評：本題考查了球的幾何結構特征以及其體積的計算公式，是基礎題．