Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上存在一點P，使得點P到雙曲線右焦點的距離等于它到直線x=-

a2

c

（其中c²=a²+b²）的距離，則雙曲線C離心率的取值范圍是（　　）

• A、(1，

  2

  ]
• B、[

  2

  ，+∞)
• C、(1，

  2

  +1]
• D、[

  2

  +1，+∞)

Answer 1

分析：由雙曲線的定義可得 PF′-PF=2a，

PF′

PF

=e，可得ePF-PF=2a，即 PF=

2a

e-1

=

2a2

c-a

≥
c-a，故

c

a

≤

2

+1，再由 e＞1 得到 1＜e≤

2

+1．

解答：解：設雙曲線的由焦點F （c，0），左焦點F′（-c，0 ），由雙曲線的定義可得 PF′-PF=2a，
 

PF′

PF

=e，∴ePF-PF=2a，∴PF=

2a

e-1

=

2a2

c-a

≥c-a，∴

c

a

≤

2

+1．
再由 e＞1，∴1＜e≤

2

+1，
故選  C．

點評：本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，得到  PF=

2a

e-1

=

2a2

c-a

≥c-a，
是解題的關鍵．