Question

（07年湖北卷）（14分）

在平面直角坐標系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點．

（I）若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；

（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．

（此題不要求在答題卡上畫圖）

 

Answer 1

本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．

解析：解法1：（Ⅰ）依題意，點的坐標為，可設，

直線的方程為，與聯立得消去得．

由韋達定理得，．

于是．

，

當，．

（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，

設的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，

則，點的坐標為．

，

，

，

．

令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，

即拋物線的通徑所在的直線．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得

，

又由點到直線的距離公式得．

從而，

當時，．

（Ⅱ）假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，

將直線方程代入得，

則．

設直線與以為直徑的圓的交點為，

則有．

令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，

即拋物線的通徑所在的直線．