Question

定義在R上的偶函數y=f（x）滿足：①對x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）；②當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，若方程f（x）=0在區間[a，8-a]上恰有3個不同實根，實數a的取值范圍是

（-7，-3）

．

Answer 1

分析：利用條件確定函數的周期性，利用周期性，奇偶性和單調性之間的關系，利用數形結合確定方程區間的取值范圍．

解答：解：∵f（x+6）=f（x）+f（3），
∴當x=-3時，f（-3+6）=f（-3）+f（3），
即f（3）=2f（3），∴f（3）=0，
即f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
∴函數的周期是6．
∵當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴函數f（x）在[0，3]上單調遞增，
∵數y=f（x）是偶函數，∴函數f（x）在[-3，0]上單調遞減．
∵區間[a，8-a]關于x=

a+8-a

2

=4對稱．
則由8-a-a＞0，解得a＜4．
∵-3關于x=4對稱的點為x=11，
15關于x=4對稱的點為x=-7，
∴要使方程f（x）=0在區間[a，8-a]上恰有3個不同實根，
則11＜8-a＜15，
解得-7＜a＜-3，
故答案為：（-7，-3）．

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的應用，利用條件確定函數的周期，利用函數性質的綜合應用是解決本題的關鍵，利用數形結合是解決本題的突破，難度較大，綜合性較強．