Question

已知焦點在x軸上，中心在坐標原點的橢圓C的離心率為，且過點（，1）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線l分別切橢圓C與圓M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B兩點，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設出橢圓的方程，根據離心率及橢圓過點（，1）求出待定系數，即得橢圓的方程．
（II）用斜截式設出直線的方程，代入橢圓的方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系，化簡|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．
解答：解：（I）設橢圓的方程為，則 ，a，
∴，
∵橢圓過點，∴，解得 a²=25，b²=9，
故橢圓C的方程為 （4分）

（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別為直線l與橢圓和圓的切點，
直線AB的方程為y=kx+m，因為A既在橢圓上，又在直線AB上，
從而有，消去y得：（25k²+9）x²+50kmx+25（m²-9）=0，
由于直線與橢圓相切，
故△=（50kmx）²-4（25k²+9）x25（m²-9）=0，從而可得：m²=9+25k²，①，x₁=，②
由．消去y得：（k²+1）x²+2kmx+m²-R²=0，
由于直線與圓相切，得m²=R²（1+k²），③，x₂=，④
由②④得：x₂-x₁=，由①③得：k²=，（9分）
∴|AB|²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²=（1+k²）（x₂-x₁）²
==

即|AB|≤2，當且僅當R=時取等號，所以|AB|的最大值為2（12分）
點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，一元二次方程根與系數的關系，基本不等式的應用．