Question

數列前項和為，首項為，滿足

（1）求數列的通項公式；

（2）是否存在,使(其中是與自然數無關的常數),若存在,求出與的值,若不存在,說明理由;

（3）求證：為有理數的充要條件是數列中存在三項構成等比數列.

Answer 1

同下

解析:

（1）

，數列是等差數列，首項為，公差為1

--------------------------------------------------------------------------6分

（2）由，即，

整理得：，當時，該式恒成立；

即：當時，，即為所求。--------------------------------10分

（3）證明：充分性：若三個不同的項成等比數列，且，則

若，則，與矛盾，

，且都是非負整數，是有理數；----------------14分

必要性：若是有理數，且，則必存在正整數，使，令

則正項數列，是原數列的一個子數列，只要正項數列中存在三個不同的項構成等比數列則原數列中必有3個不同項構成等比數列。

不失一般性，不妨設，記

又設，且成等比數列，則

為使為整數，可令，于是

可知成等比數列。證畢----------------------------------------------------18分