Question

（2013•上海）在平面直角坐標系xOy中，點A在y軸正半軸上，點P_n在x軸上，其橫坐標為x_n，且{x_n} 是首項為1、公比為2的等比數列，記∠P_nAP_n+1=θ_n，n∈N^*．
（1）若θ3=arctan

1

3

，求點A的坐標；
（2）若點A的坐標為（0，8

2

），求θ_n的最大值及相應n的值．

Answer 1

分析：（1）利用{x_n} 是首項為1、公比為2的等比數列，確定通項，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐標；
（2）表示出tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n），利用基本不等式，結合正切函數的單調性，即可求得結論．

解答：解：（1）設A（0，t）（t＞0），根據題意，x_n=2^n-1．
由θ3=arctan

1

3

，知tanθ3=

1

3

，
而tanθ₃=tan（∠OAP₄-∠OAP₃）=

x4 t - x3 t

1+ x4 t • x3 t

=

4t

t2+32

，
所以

4t

t2+32

=

1

3

，解得t=4或t=8．
故點A的坐標為（0，4）或（0，8）．
（2）由題意，點P_n的坐標為（2^n-1，0），tan∠OAP_n=

2n-1

8 2

．
∴tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n）=

2n 8 2 - 2n-1 8 2

1+ 2n 8 2 • 2n-1 8 2

=

1

16 2 2n + 2n 8 2

．
因為

16 2

2n

+

2n

8 2

≥2

2

，所以tanθ_n≤

1

2 2

=

2

4

，
當且僅當

16 2

2n

=

2n

8 2

，即n=4時等號成立．
∵0＜θ_n＜

π

2

，y=tanx在（0，

π

2

）上為增函數，
∴當n=4時，θ_n最大，其最大值為arctan

2

4

．

點評：本題考查等比數列，考查差角的正切函數，考查基本不等式的運用，正確運用差角的正切公式是關鍵．