Question

已知為定義域上的奇函數（其中m為常數），
（Ⅰ）試求出實數m的值和f（x）解析式；
（Ⅱ）若函數g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）在[-2，2]上的最大值為m，試求實數a的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由奇函數的定義知f（-x）+f（x）=0恒成立，將函數的解析式代入此方程，得到參數m的方程，求出m的值，即得函數的解析式．
（II）本題中所給的函數g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）單調性不定，故要按底數的取值范圍進行分類討論，得出函數的單調性，然后確定函數的最值在何處取到，利用函數解析式建立實數a的值，求值．
解答：解：（Ⅰ）解：函數f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，
且
對任意x∈{x∈R|x≠0}，由奇函數性質，有f（-x）+f（x）=0恒成立
所以，即2m-20=0恒成立，
∴m=10，
（Ⅱ）函數g（x）=2a^x-22（其中a＞0，a≠1）在[-2，2]上的最大值為10，
當a＞1時，a^x為R上單調遞增函數，g（x）=2a^x-22在[-2，2]上單調遞增，g（x）_最大=g（2）=10
即：2a²-22=10，即a²=16，從而，a=4
當0＜a＜1時，a^x為R上單調遞減函數，g（x）=2a^x-22在[-2，2]上單調遞減，g（x）_最大=g（-2）=10
即：2a^-2-22=10，即a^-2=16，從而，
綜上，實數a的值為4或．
點評：本題考點是函數的最值及其幾何意義，考查利用函數的奇偶性建立方程求參數，以及利用函數的單調性確定函數最值的取到到位置利用最值建立方程求參數，由此題的求解過程可以得到，函數的奇偶性與函數的最值都是一個等量關系，解題時要注意這些等量關系的使用．