Question

設函數，若對任意給定的，都存在唯一的，滿足，則正實數的最小值是（ ）

A. B. C.2 D.4

 

Answer 1

【答案】

A

【解析】

試卷分析：首先寫出f(f(x))表達式，當時，；當時，；當時，，考慮到題目說的要求x的唯一性，即當取某個y值時，f(f(x))的值只能落在三段區間的一段，而不能落在其中的兩段或者三段內。因此我們要先求出f(f(x))在每段區間的值域。當時，；當時，；當時, .從中可發現，上面兩段區間的值包含在最后一段區間內，換一句話就是說假如f(f(x))取在小于等于1的范圍內的任何一個值，則必有兩個x與之對應。因此，考慮到x的唯一性，則只有使得f(f(x))>1,因此題目轉化為當y>2時，恒有。因此令,題目轉化為y>2時，恒有g(y)>0,又g(y)=(2ay-1)（ay+1），為了要使其大于0，則或，考慮到題目要求a的正實數，則ay<-1不考慮。因此，在y大于2的情況下恒成立。因此，所以a的最小正實數為 (因為y本身取不到2，因此a可以取）.

考點：1.指數與對數的運算；2.不等式恒成立問題；3.函數的值域.