Question

已知數列{a_n}是等差數列，c_n=a_n²-a_n+1²（n∈N^*）
（1）判斷數列{c_n}是否是等差數列，并說明理由；
（2）如果a₁+a₃+…+a₂₅=130，a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k（k為常數），試寫出數列{c_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若數列{c_n}得前n項和為S_n，問是否存在這樣的實數k，使S_n當且僅當n=12時取得最大值．若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的公差為d，則c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）=-2d²，所以數列{c_n}是以-2d²為公差的等差數列．
（2）由a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k，知13d=13-13k，d=1-k，由此能導出a_n=a₁+（n-1）d=（1-kn+（13k-3）），由此能求出數列{c_n}的通項公式．
（3）因為當且僅當n=12時S_n最大，所以c₁₂＞0，c₁₃＜0，由此能求出k的取值范圍．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，則c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）=2a_n+1²-（a_n+1-d）²-（a_n+1+d）²=-2d²
∴數列{c_n}是以-2d²為公差的等差數列（4分）
（2）∵a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k∴兩式相減：13d=13-13k
∴d=1-k（6分）
∴13a1+

13(13-1)

2

×2d=130∴a₁=-2+12k（8分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=（1-k）n+（13k-3）
∴c_n=a_n²-a_n+1²=（a_n+a_n+1）（a_n-a_n+1）
=26k²-32+6-（2n+1）（1-k²）
=-2（1-k）²•n+25k²-30k+5（10分）
（3）因為當且僅當n=12時S_n最大
∴有c₁₂＞0，c₁₃＜0（12分）
即

-24(1-k)2+25k-30k+5＞0 -36(1-k)2+25k2-30k+5＜0

?

k2+18k-19＞0 k2-22k+21＞0

?

k＞1或k＜-19 k＞21或k＜1

?k＜-19或k＞21（15分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．