Question

在直角梯形P₁DCB中，P₁D//CB，CD//P₁D且P₁D = 6，BC = 3，DC =，A是P₁D的中點，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角，設E、F分別是線段AB、PD的中點．

   （1）求證：AF//平面PEC；

   （2）求平面PEC和平面PAD所成的二面角的大小；

   （3）求點D到平面PEC的距離．

Answer 1

（1）證明見解析（2）平面PEC和平面PAD所成二面角為30°（3）點D到平面PEC的距離為

解析:

①取PC中點M，連結FM、EM

//

  ∵  F、M分別為PD、PC中點

//

  ∴  FM＝CD

//

  ∵  E為AB中點，∴ AE＝CD

  ∴  FM＝AE，    ∴FMEA為平行四邊形

  ∴  AF//EM

  ∵  AF平面PEC，EM平面PEC

  ∴  AF//平面PEC

②延長DA，CE交于點N，連結PN

  ∵  AB⊥PA，  AB⊥AD

  ∴  AB⊥平面PAD   ∵AB//DC

…6’

  ∴  DC⊥平面PAD   ∴DC⊥PD  DC⊥AD

  ∴  ∠PDA為二面角P－CD－B的平面角

  ∴  ∠PDA＝45°

  ∵  PA＝AD＝３  ∠PDA＝45°

  ∵  PD＝    ∴PA⊥AD

  又  PA⊥AB      ∴PA⊥平面ABCD

//

  ∵  AE//CD   且E為AB中點

  ∴  AE＝CD   ∴AE為△NDC的中位線

  ∴  AN＝AD＝PA  ∴△PND為Rt△

      又  NE＝EC＝  PE＝

      ∴  △PNC為Rt△

      ∴  PC⊥PN  PD⊥PN

      ∴  ∠CPD為平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角

      又  PD＝     CD＝    PD⊥DC

      ∴  tan∠CPD＝＝＝

      ∴  ∠CPD＝30°

      ∴  平面PEC和平面PAD所成二面角為30°

    ③連結ED

      ∵  PA⊥平面ABCD

      ∴  V_P－CED＝S_△CED·PA＝＝

          V_P－CED＝V_D－PCE＝

      設點D到平面PCE的距離為d．

          S_△PCE＝

          V_P－PCE＝S_△DCE·d＝

      ∴  d＝

      點D到平面PEC的距離為．