Question

（2009•閔行區二模）（文）本題共有3個小題，第1、2小題滿分各5分，第3小題滿分7分．第3小題根據不同思維層次表現予以不同評分．
對于數列{a_n}
（1）當{a_n}滿足a_n+1-a_n=d（常數）且

an+1

an

=q（常數），證明：{a_n}為非零常數列．
（2）當{a_n}滿足a_n+1²-a_n²=d'（常數）且

a 2 n+1

a 2 n

=q′（常數），判斷{a_n}是否為非零常數列，并說明理由．
（3）對（1）、（2）等式中的指數進行推廣，寫出推廣后的一個正確結論（不用說明理由）．

Answer 1

分析：（1）由已知，結合等差數列、等比數列的通項公式，建立q，d的關系，
（法一）證出d=0，，并說明項不為0即可．
（法二）證出q=1，并說明項不為0即可
（2）由（1）證明的結論知：{a_n²}為非零常數列，可舉反例說明{a_n}是否為非零常數列
（3）指數由1，2進行推廣到一般 時，由（1）代表了指數為奇數、且命題為真命題的情形，（2）代表了指數為偶數，且命題為真命題的情形 的情形，可據這兩式寫出正確的結論．

解答：解：（1）（法一）

an+1-an=d an+1 an =q

⇒qa_n-a_n=d⇒（q-1）a_n=d
當q=1時，∵a_n≠0，所以d=0；
當q≠1時，⇒an=

d

q-1

是一常數，矛盾，所以{a_n}為非零常數列； （5分）
（法二）設a_n=a₁+（n-1）d，則有：

an+1

an

=

a1+(n+1-1)d

a1+(n-1)d

=q，
即a₁+nd=（a₁q-qd）+qdn（2分）
所以

d=qd a1=qa1-qd

，解得

d=0 q=1

．由此可知數列{a_n}為非零常數列； （5分）
（2）記a_n²=b_n，由（1）證明的結論知：{a_n²}為非零常數列．（2分）
顯然，{a_n²}為非零常數列時，{a_n}不一定為非零常數列，如：非常數數列a_n=（-p）ⁿ（p為大于0的正常數）和常數列a_n=p（p為非零常數）均滿足題意要求．（5分）
（3）若{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數）且

a m n+1

a m n

=q′（常數），則當m為奇數時，{a_n}必為非零常數列；當m為偶數時，{a_n}不一定為非零常數列．
或者：設a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，則

a m n+1

a m n

=(

A+(n+1)B

A+nB

)m=q′，即(1+

B

A+Bn

)m對一切n∈N^*均為常數，則必有B=0，即有a_n^m=A，當m為奇數時，an=

m	A

，當m為偶數時，an=

m	A

(A＞0)或者an=

m	(-A)

 i (A＜0).3°{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數）且

a l n+1

a l n

=q′（常數），且m、l為整數，
當m、l均為奇數時，{a_n}必為非零常數列；否則{a_n}不一定為常數列．
事實上，條件

a l n+1

a l n

=q′（正常數）可以轉化為

a m n+1

a m n

=(q′)

m

l

（常數），整個問題轉化為2°，結論顯然成立．（結論5分）
或者：設a_n^m=a₁^m+（n-1）d，即a_n^m=A+Bn，當m為奇數時，有an=

m	A+Bn

，則

a l n+1

a l n

=(

A+(n+1)B

A+nB

)

l

m

=q′，即(1+

B

A+Bn

)

l

m

對一切n∈N^*均為常數，則必有B=0，即有a_n^m=A，則an=

m	A

，當m為偶數時，如反例：a_n=（-1）ⁿn∈N^*，它既滿足m次方后是等差數列，又是l（不管l為奇數還是偶數）次方后成等比數列，但它不為常數列.4°{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數）且

a l n+1

a l n

=q′（常數），m、l為有理數，q′＞0，則{a_n}必為非零常數列；否則{a_n}不一定為常數列．
證明過程同3°（結論6分）5°{a_n}滿足a_n+1^m-a_n^m=d'（常數）且

a l n+1

a l n

=q′（常數），且m、l為實數，q′＞0，{a_n}是不等于1的正數數列，則{a_n}必為非零且不等于1的常數列；否則{a_n}不一定為常數列．
事實上，當q′＞0，m、l為實數時，條件

a l n+1

a l n

=q′同樣可以轉化為

a m n+1

a m n

=(q′)

m

l

，記a_n^m=b_n，由第（1）題的結論知：{b_n}必為不等于1的正常數數列，也即{a_n^m}為不等于1的正常數數列，an=

m	bn

，從而{a_n}也是不等于1的正常數數列．
（結論7分）

點評：本題考查歸納推理，借用了數列的形式．用到了等差、等比數列的定義、判斷，有理數指數冪的運算法則等知識．