Question

已知a，b，c為互不相等的三個正數，函數f（x）可能滿足如下性質：
①f（x-a）為奇函數；②f（x+a）為奇函數；③f（x-b）為偶函數；④f（x+b）為偶函數．
類比函數y=sinx的對稱中心、對稱軸與周期的關系，某同學得出了如下結論：
（1）若滿足①②，則f（x）的一個周期為4a；（2）若滿足①③，則f（x）的一個周期為4|a-b|；（3）若滿足③④，則f（x）的一個周期為3|a-b|．
其中正確結論的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根據函數奇偶性的定義，我們可得當f（x-a）為奇函數時，f（-x-a）=-f（x-a）；當f（x+a）為奇函數時，f（-x+a）=-f（x+a）；當f（x-b）為偶函數時，f（-x-b）=f（x-b）；當f（x+b）為偶函數時，f（-x+b）=f（x+b）．進而逐一判斷3個結論是否正確，可得答案．

解答：解：若f（x-a）為奇函數，且f（x+a）為奇函數，
∴f（x+4a）=f（x+3a+a）=-f（-x-3a+a）=-f（-x-2a）=-f（-x-a-a）=f（x+a-a）=f（x）
故f（x）滿足①②時，f（x）的一個周期為4a；
若f（x-a）為奇函數，f（x-b）為偶函數，不妨令a＞b
則f（x+4a-4b）=f（x+4a-3b-b）=f（-x-4a+3b）=f（-x-3a+3b-a）=-f（x+3a-3b）=f（x+2a-2b）=-f（x+a-b）=f（x）
故f（x）滿足①③時，則f（x）的一個周期為4|a-b|；
若f（x-b）為偶函數，f（x+b）為偶函數，則f（x）的一個周期為4b，3|a-b|不一定是函數的周期
故選C

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性和函數的周期性，其中正確理解函數奇偶性與周期性的定義是解答的關鍵．