Question

（本題滿分16分）定義，，…，的“倒平均數”為（）．已知數列前項的“倒平均數”為，記（）．
（1）比較與的大小；
（2）設函數，對（1）中的數列，是否存在實數，使得當時，對任意恒成立？若存在，求出最大的實數；若不存在，說明理由．
（3）設數列滿足，（且），（且），且是周期為的周期數列，設為前項的“倒平均數”，求．

Answer 1

（1）設數列的前項和為，由題意得，
所以，……（1分）
當時，，當時，，而也滿足此式．
所以（）．……（1分）
所以，……（1分）
，因此．……（1分）
（2）假設存在實數，使得當時，對任意恒成立，
即對任意恒成立，……（2分）
由（1）知數列是遞增數列，所以只要，即，（2分）
解得或．……（1分）
所以存在最大的實數，使得當時，對任意恒成立．…（1分）
（3）由，，得，……（1分）
① 若，則，，，因為周期為，故，所以，所以，（舍），故．
此時，為，，，，，，…．符合題意．……（1分）
② 若，則，，因為周期為，故，
所以，即或，解得或，均不合題意．…（1分）
設數列的前項和為，則對，有……（1分）
即 所以 因此．（2分）
 

略