Question

求解析式：
（1）已知f(

1

x

)=

x

1-x2

，求f（x）； 
（2）已知二次函數f（x）滿足f（0）=0且f（x+1）=f（x）+x+1，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）令

1

x

=t，則x=

1

t

，代入已知解析式可得f（t），進而可得f（x）；（2）設二次函數f（x）=ax²+bx+c，a≠0由f（0）=0可得c=0，由f（x+1）=f（x）+x+1展開比較系數可得ab的方程組，解方程組可得解析式．

解答：解：（1）令

1

x

=t，則x=

1

t

，代入已知解析式可得
f（t）=

1 t

1- 1 t2

=

t

t2-1

，
∴f（x）=

x

x2-1

（2）設二次函數f（x）=ax²+bx+c，a≠0
由f（0）=0可得c=0，由f（x+1）=f（x）+x+1可得：
a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1
展開整理可得ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1
比較系數可得

2a+b=b+1 a+b=1

，
解得a=

1

2

，b=

1

2

，
∴f（x）的表達式為：f（x）=

1

2

x²+

1

2

x

點評：本題考查函數解析式的求解，涉及換元法和待定系數法，屬基礎題．