Question

（08年湖北卷理）（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱中，平面側面

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）若直線AC與平面A₁BC所成的角為θ,二面角A₁-BC-A的大小為φ的大小關系，并予以證明.

Answer 1

【標準答案】（1）證明：如圖，過點在平面內作于，則

由平面側面，且平面側面，得平面。又平面，

所以。

因為三棱柱是直三棱柱，

則底面。

所以，又，從而側面。

又側面，故.

（2）解法1：連接，則由（1）知是直線與平面所成的角，

是二面角的平面角，即。

于是在中，在中，，

由，得，又所以。

 

 

解法2：由（1）知，以點為坐標原點，以、、所在的直線分軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，

則，

于是，。

設平面的一個法向量為，則

由得

可取，于是與的夾角為銳角，則與互為余角。

所以，，

所以。

于是由，得，

即，又所以。

【試題解析】第（1）問證明線線垂直，一般先證線面垂直，再由線面垂直得線線垂直；第（2）問若用傳統方法一般來說要先作垂直，進而得直角三角形。若用向量方法，關鍵在求法向量。

【高考考點】本題主要考查直棱柱、直線與平面所成的角、二面角和線面關系等有關知識，同時考查空間想象能力和推理能力。

【易錯提醒】要牢記面面角，線面角的范圍，特別是用向量法求二面角的時候要注意所要求的角與向量夾角的關系。

【備考提示】立體幾何中的垂直、平行，角與距離是高中數學的重要內容，應該熟練掌握。