Question

在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．
（Ⅰ）寫出C的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+1與C交于A，B兩點．k為何值時⊥？此時的值是多少？．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是橢圓．從而寫出其方程即可；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根與系數的關系及向量垂直的條件，求出k值即可，最后通牒利用弦長公式即可求得此時的值，從而解決問題．
解答：解：
（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，
長半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為．（4分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標滿足
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故．（6分）
，即x₁x₂+y₁y₂=0．而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是．
所以時，x₁x₂+y₁y₂=0，故．（8分）
當時，，．，
而（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=，
所以．（12分）
點評：本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標準方程及直線與橢圓位置關系等基礎知識，考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力．