Question

（1）(2x+ 

1

3 x

)8的展開式中的常數項是

 

，（2x-1）⁶展開式中x²的系數為

 

（用數字作答）；
（2）（x+

1

x2

）⁹的二項展開式中系數最大的項為

 

，在x²（1-2x）⁶的展開式中，x⁵的系數為

 

；
（3）如果（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，那么a₁+a₂+a₃+…+a₇=

 

，已知（1+kx²）⁶（k是正整數）的展開式中，x⁸的系數小于120，則k=

 

．

Answer 1

分析：（1）寫出兩個二項式的通項，根據要求的常數項，使得通項的x的指數等于0，得到常數項，使得指數等于2，求出結果．
（2）寫出兩個二項式的通項，根據要求的展開式中系數最大的項，根據組合數的性質得到結果，使得指數等于5，求出結果．
（3）給二項式中的x賦值，使得x等于0，1，得到結果．寫出兩個二項式的通項，使得指數等于8，系數小于120，根據k是一個整數．得到結果．

解答：解：（1））(2x+ 

1

3 x

)8的展開式中的通項是

C

r 8

(2x)8-r(

1

3 x

)r=

C

r 8

28-rx8-

4r

3

∴8-

4r

3

=0，r=6
∴常數項是112
（2x-1）⁶的通項是（-1）^rC₆^r2^6-rx^6-r，
當6-r=2，
∴r=4，
∴系數是60，
（2））（x+

1

x2

）⁹的通項是C₉^rx^9-3r，
系數最大的項是r=5
∴系數最大的項是126x^-6，
x²（1-2x）⁶的通項是C₆^r（-2）^rx^r+2，
∴x⁵的系數為r=3時，系數是-160
（3）∵（1-2x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，
當x=1時，a₁+a₂+a₃+…+a₇=-1-a₀
當x=0時，a₀=1．
∴a₁+a₂+a₃+…+a₇=-2，
（1+kx²）⁶的通項是C₆^rk^rx^r+2
x⁸的系數小于120，
∴C₆⁴K⁴＜120，
∵k是正整數
∴k=1，
故答案為：（1）112；60
（2）126x^-6；-160
（3）-2；1

點評：本題考查二項式定理的應用，包括賦值思想的應用，本題是一個綜合題目，包括二項式的所有內容，注意計算時一些負指數不要出錯．