Question

設(shè)函數(shù)，其中。
（Ⅰ）若，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立。

Answer 1

（Ⅰ）解： 函數(shù)的定義域是                     1分
對求導(dǎo)，得                 3分
由得
解得                                                      4分
（Ⅱ）解由（Ⅰ）知
令，得，則。
所以當(dāng)時，
方程存在兩根
x變化時，與的變化情況如下表：

				0
	↗	極大值	↘	極小值	↗

 即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；                  7分
當(dāng)時，因為
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；         8分
當(dāng)時，因為
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增。
綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增。                                        9分
（Ⅲ）證明：當(dāng)時，
令
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，                                          10分
則當(dāng)時，恒有
即當(dāng)時，有
整理，得                                      11分
對任意正整數(shù)n，取得，
所以，整理得           12分
則有
……

所以
，
即                                           14分

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。求解函數(shù)的單調(diào)性和極值以及不等式的恒成立問題的綜合運用。
（1）因為先求解導(dǎo)數(shù)，然后令x=1得到，求解得到a的值；
（2）當(dāng)a<0時，分類討論函數(shù)f(x)在其定義域上的單調(diào)性；
（3）要證明：對任意的正整數(shù)n，不等式都成立,要用到當(dāng)a=1時函數(shù)的單調(diào)性中的結(jié)論來分析求證。