Question

已知三棱錐P-ABC的三視圖如如圖所示，
（Ⅰ）求證：△PBC是直角三角形；
（Π）求三棱錐P-ABC是全面積；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)E在線段PC上何處時(shí)，AE與平面PAB所成的角為60⁰

Answer 1

分析：（1）根據(jù)視圖中所給的數(shù)據(jù)特證可以證明BC⊥面PAB，由線面垂直的性質(zhì)證出BC⊥PB，由此證得三角形為直角三角形
（2）由于三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，故把各個(gè)棱的長(zhǎng)度求出，由三角形面積公式求出各面的面積相加既得；
（3）本題中出現(xiàn)了同一點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)棱兩兩垂直的特征，故可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，用參數(shù)表示出直線AE的方向向量，求出面PAB的法向量，由線面角公式建立起點(diǎn)E的坐標(biāo)所滿足的方程，求出參數(shù)即可．

解答：解：解法一：
（Ⅰ）由俯視圖可得：
面PAC⊥ABC，面PAB⊥面ABC
又面PAC∩面PAB=PA                                
故PA⊥面ABC
∵BC?面ABC，∴BC⊥PA
有俯視圖知BC⊥AB，∴BC⊥面PAB∵BP?面PAB，∴BC⊥PB
故△PBC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形．

（Ⅱ）三角形PAC的面積為

1

2

×

2

×

2

=1，PC=2
∵俯視如圖是底邊長(zhǎng)為

2

，斜邊上的高為

2

2

的等腰直角三角形
∴三角形PAB的面積為

2

2

，且PB=

3

由（Ⅰ）知三角形PBC是直角三角形，
故其面積為

1

2

×BC×PB=

3

2

故三棱錐P-ABC的全面積為

3+ 2 + 3

2

（Ⅲ）在面ABC內(nèi)過(guò)A做AC的垂線AQ，
以A為原點(diǎn)，AC、AQ、AP所在直線分別為
x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如如圖所示則P(0，0，

2

)，C(

2

，0，0)B(

2

2

，

2

2

，0)
設(shè)

n

=(x，y，z)為面PAB的一個(gè)法向量
則

n • AP = 2 z=0 n • AB = 2 2 x+ 2 2 y=0

取x=1．得

n

=(1，-1，0)設(shè)

CE

=λ

CP

，E(x，y，z)
∵

CP

=(-

2

，0，

2

)，

CE

=(x-

2

，y，z)
∴E((1-λ)

2

，0，

2

λ)sin300=

| n • AE |

| n |•| AE |

=

|1-λ| 2

2 2(1-λ)2+2λ2

=

1

2

解得λ=

1

2

∴E=(

2

2

，0，

2

2

)
故當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，AE與面PAB所成的為60°

解法二：
（Ⅰ）由正視圖和俯視圖可判斷PA⊥AC，且PA⊥AB∴PA⊥面ABC
在面ABC內(nèi)過(guò)A做AC的垂線AQ
以A為原點(diǎn)，AC、AQ、AP所在直線分別為
x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如如圖所示
則PP(0，0，

2

)，C(

2

，0，0)B(

2

2

，

2

2

，0)

PB

=(

2

2

，

2

2

，-

2

)，

CB

=(-

2

2

，

2

2

，0)

PB

•

CB

=0
∴BC⊥PB
故△PBC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）設(shè)

n

=(x，y，z)為面PAB的一個(gè)法向量
則

n • AP = 2 z=0 n • AB = 2 2 x+ 2 2 y=0

取x=1．得

n

=(1，-1，0)

CE

=λ

CP

，E(x，y，z)
∵

CP

=(-

2

，0，

2

)，

CE

=(x-

2

，y，z)
∴E((1-λ)

2

，0，

2

λ)sin300=

| n • AE |

| n |•| AE |

=

|1-λ| 2

2 2(1-λ)2+2λ2

=

1

2

解得λ=

1

2

∴E=(

2

2

，0，

2

2

)
故當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，AE與面PAB所成的為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對(duì)三視圖的理解與應(yīng)用，主要考查三視圖與實(shí)物圖之間的關(guān)系，用三視圖中的數(shù)據(jù)還原出實(shí)物圖的數(shù)據(jù)，再根據(jù)相關(guān)的公式求表面積與體積，本題求的是四棱錐的體積，其公式為

1

3

×底面積×高．三視圖的投影規(guī)則是：“主視、俯視 長(zhǎng)對(duì)正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”，三視圖是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，在以后的高考中有加強(qiáng)的可能．用向量法求線面角是空間向量的一個(gè)重要運(yùn)用，其步驟是：
一、建立坐標(biāo)系，表示出相應(yīng)量的坐標(biāo)，
二、求出直線的方向向量以及面的法向量，
三、利用公式表示線面角或者面面角的三角函數(shù)值求角．
用向量解決幾何問(wèn)題是新課標(biāo)的新增內(nèi)容，這幾年高考中此工具是一個(gè)常考常新的類型．