Question

已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且.
⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
⑵設(shè)，求證：；
⑶設(shè)，，求.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

解析試題分析：（1）一般數(shù)列問題中出現(xiàn)數(shù)列前的和與其項時，則可利用關(guān)系找出數(shù)列的遞推關(guān)系，本題可從此入手，證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)由(1)可求出，根據(jù)此式的結(jié)構(gòu)特征，可得，利用裂項相消法求其前的和后再予以判斷；(3)根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(等差乘等比型)可用錯位相減法求和.證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列，應(yīng)緊扣定義，通過對所給條件變形，得到遞推關(guān)系，而等差乘等比型數(shù)列的求和最常用的就是錯位相減法，使用這個方法在計算上要有耐心和細(xì)心，注意各項的符號，防止出錯.
試題解析：⑴證明：，當(dāng)時，或，又.            1分
由，得，

數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；            4分
⑵證明：由⑴知，，

.            8分
⑶，，      ①
         ②
由①－②得，
.            12分
考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列、錯位相減法.