Question

【題目】設函數.

（1）若不等式解集為，求實數的值；

（2）在（1）的條件下，若不等式解集非空，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）-2；（2）或或.

【解析】

（1）由題意把不等式化為|x﹣2a|≤2﹣a，去掉絕對值，寫出x的取值范圍，再根據不等式的解集列方程求出a的值；

（2）把不等式化為|x+4|+1≤（k2﹣1）x，設g（x）＝|x+4|+1，作出g（x）的圖象，結合圖象知要使不等式的解集非空，應滿足的條件是什么，由此求得k的取值范圍．

解：（1）函數f（x）＝+a，

∴不等式f（x）≤2化為≤2﹣a，

∴a﹣2≤x﹣2a≤2﹣a，

解得3a﹣2≤x≤a+2；

又f（x）≤2的解集為{x|﹣8≤x≤0}，

∴，

解得a＝﹣2；

（2）在（1）的條件下，f（x）＝|x﹣4|﹣2，

不等式f（x）≤（k2﹣1）x﹣3化為|x+4|+1≤（k2﹣1）x，

令g（x）＝|x+4|+1，作出g（x）的圖象，如圖所示；

由圖象知，要使不等式的解集非空，應滿足：

k2﹣1＞1或k2﹣1，

即k2＞2或k2，

解得k或k或x，

所以實數k的取值范圍是{k|k或k或k}．