Question

點P在以F₁，F₂為焦點的雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，已知PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2|PF₂|，O為坐標原點．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P₁，P₂兩點，且

OP1

•

OP2

=-

27

4

，2

PP1

+

PP2

=

0

，求雙曲線E的方程；
（Ⅲ）若過點Q（m，0）（m為非零常數）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且

MQ

=λ

QN

（λ為非零常數），問在x軸上是否存在定點G，使

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)？若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a求得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，結合垂直關系利用勾股定理即可求得雙曲線的離心率e；
（II）先設出E：

x2

a2

-

y2

4a2

=1，漸近線為y=±2x設P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）利用向量的運算即可求得a值，從而求得雙曲線E的方程．
（III）對于存在性問題，可先假設存在，即假設在x軸上存在定點G（t，0），再利用根與系數的關系，求出t的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）|PF₁|=2|PF₂|，|PF₁|-|PF₂|=2a，∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a
∵PF1⊥PF2∴(4a)2+(2a)2=(2c)2∴e=

5

（II）E：

x2

a2

-

y2

4a2

=1
漸近線為y=±2x設P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）

OP1

•

OP2

=-3x1x2=-

27

4

，∴x1x2=

9

4

，
∵2

PP1

+

PP2

=

0

∴x=

2x1+x2

3

，y=

2(2x1-x2)

3

代入E化簡x1x2=

9

8

a2，∴a²=2
∴

x2

2

-

y2

8

=1

（III）假設在x軸上存在定點G（t，0）
使

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)，
設l：x=ky+m，M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
聯立l與E的方程得（4k²-1）y²+8kmy+4m²-8=0
故

y3+y4= -8km 4k2-1 (1) y3y4= 4m2-8 4k2-1 (2)

GM

-λ

GN

=(x3-t-λx4+λt，y3-λy4)，

F1F2

=(2

10

，0)

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)?x₃-t-λx₄+λt=0?k（y₃-λy₄）+（1-λ）m+（λ-1）t=0（3）
由

MQ

=λ

QN

∴y₃+λy₄=0∴y₃=-λy₄（4）
∴（3）即為2ky₃+（1-λ）m+（λ-1）t=0（5），將（4）代入（1）（2）
有y3=(λ-1)

m2-2

2km

代入（5）得t=

2

m

故在x軸上存在定點G(

2

m

，0)使

F1F2

⊥(

GM

-λ

GN

)．

點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題、向量的運算、雙曲線方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．