Question

已知橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)，點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上。

   （1）求橢圓C的方程；（8分）

   （2）設(shè)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N的傾斜角分別為，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)。（12分）

 

Answer 1

解析： （1）（8分）由橢圓C的離心率 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

       得，其中，

       橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為

       又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上

      

       解得           

   （2）（12分）由題意，知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為

       由

       消去

       設(shè)

       則

       且   8分

       由已知，

       得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m          

       化簡，得     10分

      

       整理得

直線MN的方程為，     

       因此直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）