Question

設函數．
（1）在區間上畫出函數的圖象 ；
（2）設集合. 試判斷集合和之間
的關系，并給出證明 ；
（3）當時，求證：在區間上，的圖象位于函數圖象的上方．
   

Answer 1

(1)見解析；（2）；（3）見解析.

試題分析：（1）畫出在上的圖象，然后將軸下方的翻到上方即可；（2）結合圖象，求出集合，則其與的關系一面了然；（3）只需證明當時在區間上恒成立.
試題解析：（1）函數在區間上畫出的圖象如下圖所示：

（2）方程的解分別是和，
由于在和上單調遞減，在和上單調遞增，
因此.                              6分
由于.                                   8分
（3）解法一：當時，.
設 , 9分
. 又，
① 當，即時，取， .
， 則.               11分
② 當，即時，取，＝.
由 ①、②可知，當時，，.                           12分
因此，在區間上，的圖象位于函數圖象的上方.           13分
解法二：當時，.
由 得，
令 ，解得 或，                         10分
在區間上，當時，的圖象與函數的圖象只交于一點；
當時，的圖象與函數的圖象沒有交點.    11分
如圖可知，由于直線過點，
當時，直線是由直線繞點逆時針方向旋轉得到.
因此，在區間上，的圖象位于函數圖象的上方.      13分