Question

【題目】如圖，某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，外的地方種草，的內接正方形PQRS為一水池，其余的地方種花.若，，設的面積為，正方形PQRS的面積為.

（1）用a，表示和；

（2）當a為定值，變化時，求的最小值，及此時的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的值最小，最小值為

【解析】

（1）利用已知條件，根據銳角三角形中正余弦的利用，即可表示出和；

（2）根據題意，將表示為的函數，利用倍角公式對函數進行轉化，利用換元法，借助對勾函數的單調性，從而求得最小值.

（1）在中，，

所以；

設正方形的邊長為x，則，，

由，得，

解得；

所以；

（2）

，

令，因為，

所以，則，

所以；

設，

根據對勾函數的單調性可知，在上單調遞減，

因此當時，有最小值，

此時，解得；

所以當時，的值最小，最小值為.