Question

已知函數f（x）=2^2x-2^x+1+2，定義域為M，值域為[1，2]，則下列說法中一定正確的序號是

（3）（4）（5）

（1）M=[0，2]；（2）M=（-∞，1]；（3）M⊆（-∞，1]；（4）0∈M；（5）1∈M．

Answer 1

分析：可先研究值域為[1，2]時函數的定義域，再研究使得值域為[1，2]的函數的最小的自變量的取值集合，研究函數值為1，2時對應的自變量的取值，由此即可判斷出正確結論的序號．

解答：解：由于f（x）=2^2x-2^x+1+2=（2^x-1）²+1∈[1，2]，
∴2^x-1∈[-1，1]，即2^x∈[0，2]
∴x∈（-∞，1]即函數f（x）=2^2x-2^x+1+2的定義域（-∞，1]；
當函數的最小值為1時，僅有x=0，
故 （4）0∈M 正確，
當函數值為2時，僅有x=1滿足，故（5）1∈M正確
又必有M⊆（-∞，1]；  故（3）正確
當M=[0，1]時，此時函數的值域是[1，2]，∴M=（-∞，1]不一定正確，故（2）錯誤； 
當x=2時，函數值為10，故 （1）M=[1，2]不正確  
綜上，一定正確的結論的序號是（3）（4）（5）；

點評：本小題主要考查函數的定義域及其求法、元素與集合關系的判斷、集合的包含關系判斷及應用等基礎知識，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題