Question

（本小題滿分14分）
已知直線與橢圓相交于、兩點，是線段上的一點，，且點在直線上．
（１）求橢圓的離心率；
（２）若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）
（2）

解：
（1）有AN=-BN知M是AB的中點，
設A、B兩點的坐標哦分別為、，
由 {  得
根據根與系數的關系，的
則．∴　點的坐標為．…4分
又∵　點在直線上，∴　，　
∴　
∴　　　　　∴　橢圓的離心率　　…………………7分
（2）由（１）知，由圖形的對稱性可知只需考慮一個焦點即可．
不妨設橢圓的一個焦點為設關于直線的對稱點為，
則有　　，解得　…10分
由已知得　　　∴　　有，　∴　　．……１2分
又∴  ∴　所求的橢圓方程為．　……………１4分