Question

已知函數f(x2-3)=loga

x2

6-x2

(a＞0，a≠1)．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）≥log_a2x，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令 x²-3=t，代入函數的解析式求得 f（t）=loga

t+3

3-t

，f（x）=loga

x+3

3-x

．由

x+3

3-x

＞0 求得函數的定義域關于原點對稱，再由f（-x）=-f（x），故函數f（x）是奇函數．
（2）當a＞1時，由不等式可得

x+3

3-x

≥2x＞0，由此求得x的取值范圍．當0＜a＜1時，由由不等式可得 0＜

x+3

3-x

≤2x，由此求得x的取值范圍．

解答：答：（1）∵函數f(x2-3)=loga

x2

6-x2

(a＞0，a≠1)，令 x²-3=t，則 x²=t+3．
則有 f（t）=loga

t+3

3-t

，故 f（x）=loga

x+3

3-x

．
再由

x+3

3-x

＞0 解得-3＜x＜3，故函數f（x）的定義域為（-3，3）．
由f（-x）=loga

-x+3

3+x

=-loga

x+3

3-x

=-f（x），故函數f（x）是奇函數．
（2）當a＞1時，由f（x）=loga

x+3

3-x

≥log_a2x，可得

x+3

3-x

≥2x＞0，
解得 0＜x≤1，或

3

2

≤x＜3．
當0＜a＜1時，由f（x）=loga

x+3

3-x

≥log_a2x，可得 0＜

x+3

3-x

≤2x，
解得 1≤x≤

3

2

．

點評：本題主要考查判斷函數的奇偶性的方法和步驟，解對數不等式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．