Question

給定矩陣M=

2 3 - 1 3 - 1 3 2 3

，N=

2 1 1 2

及向量e₁=

1 1

，e₁=

1 -1

．
（1）證明M和N互為逆矩陣；
（2）證明e₁和e₂都是M的特征向量．

Answer 1

分析：（1）已知矩陣M=

2 3 - 1 3 - 1 3 2 3

，N=

2 1 1 2

，只要證明NM為單位矩陣即可證明；
（2）向量e₁=

1 1

在M的作用下，其像與其保持共線，利用此性質進行證明，同理證明e₂都是M的特征向量；

解答：解：（1）因為MN=

2 3 - 1 3

- 1 3 2 3

2 1

1 2

=

1 0

0 1

，NM=

2 1

1 2

2 3 - 1 3

- 1 3 2 3

=

1 0

0 1

，
所以M和N互為逆矩陣．（4分）
（2）向量e₁=

1 1

在M的作用下，其像與其保持共線，即

2 3 - 1 3

- 1 3 2 3

1 1

=

1 3 1 3

=

1

3

1 1

，
向量e₂=

1 -1

在M的作用下，其像與其保持共線，即

2 3 - 1 3

- 1 3 2 3

1 -1

=

1 -1

，
所以e₁和e₂是M的特征向量．（10分）

點評：此題考查矩陣的運算法則及其逆運算，這一部分是高中新增的內容，平時要多加練習，要理解特征向量的定義及其求法．