Question

有甲、乙兩種商品，經營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次為Q₁萬元和Q₂萬元，它們與投入的資金的關系是Q₁=

1

5

x，Q₂=

3

5

x

，今有3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入應分別為多少？

Answer 1

分析：設甲、乙兩種商品的資金投入分別為x萬元，（3-x）萬元時，利潤函數Q=Q₁+Q₂=

1

5

x+

3

5

3-x

，用換元法：令

3-x

=t，則Q可表示為t的二次函數，從而求得Q的最大值，即獲最大利潤，進而得出甲、乙兩種商品的資金投入．

解答：解：設甲、乙兩種商品的資金投入分別為x萬元，（3-x）萬元，
則利潤為：Q=Q₁+Q₂=

1

5

x+

3

5

3-x

（0≤x≤3），
令

3-x

=t，則x=3-t²（t≥0），
∴Q=

1

5

（3-t²）+

3

5

t=-

1

5

（t-

3

2

）²+

21

20

；
∵t=

3

2

∈[0，+∞），
所以，當t=

3

2

時，即x=

3

4

時，Q有最大值

21

20

，此時3-x=

9

4

，此時獲最大利潤，
所以，甲、乙兩種商品的資金投入應分別為

3

4

萬元和

9

4

萬元．

點評：本題考查了二次函數模型的應用，利用換元法把含有根號的函數轉化為二次函數時，要注意自變量取值范圍的變化．